Розрахунок балки на надійність при вигині

1-02-01 Як побудувати епюри. Згин. Опір матеріалів побудова епюр при згині.

Розрахунок балок на надійність в більшості випадків проводиться за найбільшим нормальним напруженням, що виникають в їх поперечних перетинах. Позначаючи ці напруги

, набуваємо вимога міцності у вигляді

тут — допустиме напруження, яке залежить як правило від матеріалу балки і її призначення (детальніше про вибори дозволяє стресів см. § 8.2).
При расчітиваніі на надійність конструкцій компонентів, які працюють на вигин, можливі три наступні види завдань, що розрізняються формою застосування умови міцності (41.7):
а) перевірка стресів (перевірочний розрахунок);

б) вибір перетину (проектний розрахунок);

в) визначення дозволяє навантаження (визначення підйомності вантажу).
Методика вирішення цих завдань для балок з пластичних і крихких матеріалів різна, так як балки з пластичних матеріалів однаково працюють на розтягування і стиснення, а з крихких матеріалів краще працюють на стиск, ніж на розтяг. Це впливає на використовувані форми поперечних перерізів балок і на спосіб визначення небезпечногоперетину.
Знамениті відмінності є також в розрахунках балок постійного по всій довжині і змінного поперечного перерізу.
Крім того, потрібно розуміти, що в певних (порівняно рідкісних) випадках розрахунок на надійність виключно по найбільшим нормальним напруженням, існуючим в поперечному перерізі балки, недостатній, і доводиться додатково робити перевірку міцності також за основними напруг, що виникають в похилих перетинах, і по найбільшим дотичним напруженням.
Розглянемо головні ситуації розрахунків на надійність при прямому згині.

Балки постійного поперечного перерізу з пластичних матеріалів

Пластичні матеріали однаково пручаються як розтягування, так і стиснення: в зв’язку з цим для них З цієї причини балки з пластичних матеріалів в більшості випадків мають поперечним перерізом симетричні щодо власних нейтральних осей, при яких в балках з’являються однакові найбільші розтягують і стискають напруги.
В даному випадку небезпечним вважається те поперечний переріз балки, в якому з’являється найбільший за абсолютною величиною згинальний момент Мтах. Для цього перетину і складається вимога міцності. Небезпечними є точки небезпечного поперечного перерізу, найбільш віддалені від нейтральної осі.
Нормальні напруги в таких точках визначаються [відповідно до висловом (21.7)] за формулою

Тут для спрощення індекс при М і W не вказано.

Розрахунки на надійність при вигині

Вимога міцності балки при вигині полягає в тому, що максимальне звичайне напруга в небезпечному перерізі не повинно бути більше дозволяє. Вважаючи, що здогад про ненадавліваніі волокон справедлива не тільки при чистому, але і при поперечному вигині, ми можемо нормальні напруги в поперечному перерізі обчислювати при поперечному вигині за тією ж формулою, що і при чистому вигині. Питання про перевірку міцності балки на дотичні напруження, а ще про розрахунок балок на жорсткість буде викладено в подальших параграфах.
Формула розрахунку на надійність при вигині має вигляд

і читається так: звичайне напруга в небезпечному перерізі, обчислене за формулою а = Mnm&x) W , не повинно бути більше допускається. Допустиме звичайне напруга при вигині підбирають таким же, як і при розтягуванні і стисненні. Найбільший згинальний момент визначають з епюр згинаючих факторів або розрахунком. Так як момент опору вигину Wв розрахунковій формулі стоїть в знаменнику, то чим більше W, тим менше будуть розрахункові напруги.
Визначимо моменти опору вигину найпопулярніших перетинів.
1. Прямокутник bxh (Рис. 6.15):

Якщо балку перетину з прямими кутами покласти плазом, то КР = hb 2 / Б, тоді

тому, при інших рівних умовах найбільші нормальні напруги а ‘у квадратної балки, покладеної плиском, будуть більше, ніж у тій же балки, коли її найбільший габаритний розмір h вертикальний (мається на увазі, що вигин відбувається в площині розташованої вертикально).
Зі сказаного випливає правило: для забезпечення найбільшої міцності вісь, щодо якої момент інерції максимальний, повинна бути нейтральною.
2. Коло діаметром d:

3. Кільце з розмірами Dxd:

розрахунок балки на двох опорах на міцність при згині.

Сопромат, про що ця наука. Що таке опір матеріалів в доступній формі

Момент опору кільцевого перерізу не можна обчислювати як різниця чинників опорів великого і малого кіл. Нескладно підрахувати, що при однаковій площі поперечного перерізу, іншими словами при однаковій витраті матеріалу момент опору кільцевого перерізу більше моменту опору суцільного круглого перетину.
Так як поблизу нейтральної осі матеріал мало напружений, то вигідно побільше матеріалу розташовувати далі від нейтральної осі. З цієї причини в автомобілебудуванні рідше використовують металобалкі перетину з прямими кутами, але дуже дуже популярні прокатні профільні балки таврового, двотаврового, кутового, швеллерного і інших перетинів. Моменти інерції, моменти опору і інші характеристики прокатних фасонних профілів класичних розмірів даються в таблицях ГОСТу.
Для балок, матеріал яких неоднаково працює на розтягування і стиснення (наприклад, чавун), найкраще використовувати профілю, що не симетричні відносно нейтральної осі, наприклад тавровий або П-подібний. Так як у несиметричного профілю при згині з’являються неоднакові напруги розтягування і стиснення, то перетин, наприклад, чавунної балки вигідно розташовувати так, щоб менші напруги були в зоні розтягнутих, а великі — в зоні стислих волокон (рис. 6.16).

Проведемо порівняння економності по масі балок двотаврового, прямокутного і квадратного перерізів. Наприклад, що з розрахункового рівняння ми встановили момент опору вигину балки: W = Л / ітахДа] = 1,2-10 _3 м 3 = 1200 см 3. За таблицями ГОСТу вибираємо двотавровий профіль № 45 з площею поперечного перерізу Л№ = — 83 см 2 .
Визначимо розміри перетину з прямими кутами, вважаючи І = 2b:

Звідси b = lj1200-3 / 2 = 12,2 см; І = 2Ь = 24,4 см; Квітня = ЬІ = 12,2 * • 24,4 = 297 см 2 .
За інших рівних умов маси балок пропорційні площам поперечних перерізів і, тому, ставлення їх мас одно Кві / Аав = 297/83 »3,5. Подібним чином, балка перетину з прямими кутами в три з половиною рази важче балки двотаврового профілю при однаковій міцності та інших рівних умовах.
Визначимо розміри квадратного перетину зі стороною а: оскільки W = a 3/6 = 1200 см 2, то см; АЮ>= А 1 = 375 см 2;
ЛСВ / Аш = 375/83 «4,5. Подібним чином, балка квадратного перетину в 4-ри з половиною рази важче балки двотаврового профілю при однаковій міцності та інших рівних умовах.
Для балок з крихкого матеріалу (наприклад, чавуну) складають дві умови міцності — на стиск і на розтяг, так як неміцний матеріал неоднаково пручається стиску і розтягування.
Визначити номер профілю консольної балки двотаврового перетину, якщо допустиме напруження при згині [а] = 120 МПа, F = 2000 Н, q = 4000 Н / м, / = 2 м (рис. 6.17).

Видеоурок 6. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе.

Рішення. Зрозуміло, що у цій балки, що працює на вигин, найбільший згинальний момент буде в закладенні і зорієнтуватися по формулі Мнтах = -Fl-ql 2/8 . Підставивши дані, отримаємо беззастережне значення моменту

Розрахункове рівняння на надійність при вигині має вигляд Атаху = = MKmax / Wx 2. Якщо перетин балки повернути на 90 °, іншими словами розмістити полки вертикально, а стінку — горизонтально (рис. 6.17), то потрібен буде профіль № 30 (при подібному розташуванні перетину двутавр вибирається по 1VX). В даному випадку балка виявиться втричі важче.
Побудувати епюри поперечних сил і згинальних факторів для балки, зображеної на рис. 6.18, якщо F = 20 кН, q = 20 кН / м, т = 8 кН м, а = 0,8 м. Перевірити балку на надійність, якщо її профіль — двотавр № 20, а дозволяє напруга [а] = 150 МПа.
Рішення. Визначимо опорні реакції RBw RD, склавши рівняння факторів щодо точок BwD.

Підставивши дані і провівши обчислення, отримаємо RD = 22 кН.

Підставивши дані і провівши обчислення, отримаємо RB = 14 кН.

побудова епюри Q. На першій ділянці Qx = 0, так як алгебраїчна сума сил пари завжди дорівнює нулю. На другій ділянці Q2 = Rg = 14 кН. На третьому ділянці 03 = RB — F = 14 — 20 = -6 кН. На таких ділянках епюра Q зображується прямими лініями, паралельними осі.
Четверта ділянка розглянемо, взявши початок координат на правому кінці балки: 04 = qz, де z змінюється від 0 до а. тоді при z = 0 04 = 0, при z = aQ4 = = qa = 20 • 0,8 = 16 кН. На цій ділянці епюра зображується прямою похилою лінією. У точці D епюра Q має «стрибок», рівний опорної реакції RD.
побудова епюри Мн. На першій ділянці М1И = -т = -8 кН. На другому і третьому місцях будуємо епюру за значеннями згинального моменту на кордонах ділянок: в перерізі В маємо М2н = -т = -8 кН; в перерізі С маємо м2К = -т + RB? а = — 8 + 14 • 0,8 = 3,2 кН ​​м; в перетині D маємо М3і = -т + + RB? За -F- 2а = — 8 + 14 • 3 • 0,8 — 20 • 2 • 0,8 = -6 кН м. На перших трьох ділянках епюра Мц зображується прямими лініями.
Четверта ділянка розглянемо, взявши початок координат на правому кінці балки: М4і = -qz 2 12, де z змінюється від 0 до а. тоді при z = 0 М4і = 0, при Z = а М4і = -qa 2/2 = -20 • 0,8 2/2 = -6,4 кН м. На цій ділянці епюра ми — дуга параболи.
Перевірка балки на надійність. Найбільший згинальний момент буде на першій ділянці: | Мітах = 8 кН м. Формула розрахунку на надійність при згині: а = MKmax / Wx 3 = 184-10 6 м 3. Підставляючи значення і беручи до уваги розмірності, отримаємо