Будівництво та ремонт

Розрахунок балок на прогин

Допустимий прогин балки

Сопромат. Расчет прогиба балки. Технология логичного обучения.

балкою називають конструктивний компонент, здатний витримувати високі навантаження на вигин. У разі малих прогинів форму балки можна описати лінійним диференціальним рівнянням \ (4 \) — го порядку.

Прогиб балки

Розглянемо висновок даного рівняння. При вигині балки між 2-ма сусідніми перетинами, віддаленими один від одного на відстані \ (dx, \) утворюється кут \ (d \ theta \) (рисунок \ (1 \)).

При цьому дефармація \ (\ varepsilon \) в кожній точці буде пропорційна координаті \ (y, \) яку будемо відраховувати від нейтральної лінії. Довжина нейтральної лінії є незмінною.
З геометрії малюнка \ (1 \) слід, що \ [\ varepsilon = \ frac, \] де \ (R \)? радіус кривизни бруса.
Величина нормального напруги \ (\ sigma \) в перерізі буде також залежати від координати \ (y. \) Її можна оцінити Відповідно до закону Гука: \ [\ sigma = \ varepsilon E = \ fracy, \] де \ (E \)? модуль пружності балки.
Згинальний момент \ (M \ left (x \ right) \) для заданого перерізу балки відносно осі \ (Oz \) обчислюється за формулою \ [= \ int \ limits_A <\ Sigma ydA>> = <\ Frac \ int \ limits_A <dA> > = <\ fracI,> \] Де \ (I \)? момент інерції поперечного перерізу відносно нейтральної осі \ (Oz \) (рисунок \ (2 \)). Звідси отримуємо вираз для радіуса кривизни балки: \ [R = \ frac<><>.\] Відомо, що радіус кривизни встановлюється формулою \ [R = \ frac <<<<\ Left [ <1 + <<\ Left (диференціальне рівняння пружної лінії записується в наступному вигляді: \ [y » = \ frac<><>\; \; \ Text<або>\; \; \ Frac<<y>><>> = \ Frac<><>.\] Згинальний момент \ (\) можна виразити через відому зовнішню навантаження \ (\) діє на балку. Дійсно, відзначимо невеликий компонент \ (dx \) і розглянемо умови його рівноваги (малюнок \ (3 \)).

Сума проекцій всіх сил на вісь \ (Oz \) дорівнює нулю: \ [- Q — qdx + Q + dQ = 0. \] Сума факторів всіх сил щодо, наприклад, правої межі елемента \ (dx \) (точка \ ( B \) на малюнку \ (3 \)) буде також дорівнює нулю: \ [- M + M + dM — Qdx — q \ frac <<<<\ Left (\ right)>^ 2>>> <2>= 0. \] Звідси випливає співвідношення \ [\ left \< \ Begin \ frac<><> = Q \\ \ frac<><> = Q \ end \ right. \; \; \ Text<або>\; \; \ Frac<<M>><>> = Q. \] Якщо це врахувати вираження диференціальне рівняння набирає вигляду: \ [y>><>>,>\; \; <\ Rightarrow \ frac<<M>><>> = \ Frac<<>><>>\ Left (y>><>>> \ Right) = q.> \] Дане рівняння називається диференціальним рівнянням Ейлера-Бернуллі . Наприклад якщо величини \ (E \) і \ (I \) постійні уздовж осі \ (Ox, \) ми набуваємо рівняння 4-го порядку: \ [EI \ frac<<y>><>> = Q. \] Дане рівняння при завданні відповідних граничних умов визначає прогин навантаженої балки.
Нехай на балку довжиною \ (L \) діє однорідне розподілена сила \ (q. \) Модуль пружності \ (E \) і момент інерції балки \ (I \) вважаємо популярними.

Основы Сопромата. Расчеты на прочность. Общая идея

Рівняння прогину балки має вигляд: \ [EI \ frac<<y>><>> = — q. \] Символ "мінус" перед \ (q \) показує, що сила спрямована в бік, протилежний позитивному напрямку осі \ (Oy, \) тобто вертикально вниз.

Расчет и подбор двутавровой балки для перекрытия

При жорсткому закріпленні кінчиків балки справедливі наступні граничні умови: \ [\ right) = 0,>\; \; \ Right) = 0,>\; \; <\ frac<><>\ Left (\ right) = 0,>\; \; <\ frac<><>\ Left (\ right) = 0.> \] Поступово інтегруючи диференціальне рівняння, знаходимо функцію \ (y \ left (x \ right): \) \ [ <\ frac<<y>><>> = — \ frac<><> + ,>\; \; <\ Rightarrow \ frac<<y>><>> = — \ frac<>><<2EI>> + x + ,>\; \; <\ Rightarrow \ frac<><> = — \ frac<>><<6EI>> + \ frac<<>> <2>+ x + ,>\; \; <\ Rightarrow y \ left (x \ right) = — \ frac<>><<24EI>> + \ frac<<>> <6>+ \ frac<<>> <2>+ x + .> \] З умов \ (y \ left (\ right) = 0 \) і \ (\ large \ frac<><>\ Normalsize \ left (\ right) = 0 \) слід, що \ (= = 0. \) З урахуванням 2-ух інших граничних умов набуваємо наступну систему рівнянь з маловідомими \ (\) і \ (: \) \ [\ left \< \ Begin — \ frac<>><<24EI>> + \ frac<<>> <6>+ \ frac<<>> <2>= 0 \\ — \ frac<>><<6EI>> + \ frac<<>> <2>+ L = 0 \ end \ right .. \] Вирішуючи її, знаходимо коефіцієнти \ (\) і \ (: \) \ [ <\ Left \< \ Begin \ left. < — \ frac<>><<24EI>> + \ frac<<>> <6>+ \ frac<<>> <2>= 0 \;> \ Right | \ Cdot \ frac<<24>><<>>\\ \ left. < — \ frac<>><<6EI>> + \ frac<<>> <2>+ L = 0 \;> \ Right | \ Cdot \ frac<6> \ End \ right.,>\; \; <\ Rightarrow \ left. <\ Left \< <\ begin<*<20>> < — \ frac<>><> + 4L + 12 = 0>\\ < — \ frac<<2q>><> + 6L + 12 = 0> \ End \;> \ right.> \ Right | — ,>\; \; <\ Rightarrow \ left \< <\ begin<*<20>> <= \ Frac<><<2EI>>>\\ <= — \ frac<>><<12EI>>> \ end> \ right..> \] Отже, прогин балки під дією рівномірно розподіленого навантаження \ (q \) описується функцією \ [ >><<24EI>> + \ frac<>><<12EI>> — \ frac<>><<24EI>> > = < — \ frac<>><<24EI>>\ Left ( <- 2Lx + > \ Right) > = < — \ frac<>><<24EI>> <\ Left (\ right) ^ 2>.> \] Щоб дізнатися стрілу прогину \ (\ lambda, \) досліджуємо функцію \ (f \ left (x \ right) = <\ Left (\ right) ^ 2>\) На екстремум. Знаходимо похідну такої функції і прирівнюємо її нулю: \ [

Related Articles

Добавить комментарий

Back to top button