Прогин балки формула, механізм і приклади обчислення прогину по стандартам

Вигин консольної балки силою, яка додається на кінці

Розглянемо консольную балку перетину з прямими кутами шириною b = 1, навантажену силою Р (Рис. 17.9). Можемо вважати, що в балці має місце узагальнене плоске важкий стан.

Скористаємося популярними формулами опору матеріалів для стресів:

Знайдемо входять в ці формули величини: вигинає момент
поперечну силу
момент інерції поперечного перерізу

статичний момент відсіченою площі при b = 1 (див. Формулу (7.45))
Підставивши ці величини в формули для стресів, отримаємо

Застосовуючи формули (17.20) при Х = Y = 0, зв’яжемо ці вирази у яких є функція стресів:

де через ср с2, с3, с4 позначені часті множники в формулах (а) для стресів.
Інтегруючи перше з даних рівностей 2 рази по у і підставляючи отримане подібним чином вираз для (р в друге і третє рівності, поступово отримаємо

Розглянемо друге і третє з даних рівностей. Так як у — незалежна змінна, то друге рівноправність може бути тільки при виконанні умов
Виробляючи інтегрування, знайдемо

Підставляючи в третю рівноправність / ‘= с5 і прирівнюючи між собою коефіцієнти при схожих ступенях у, отримаємо

З урахуванням отриманих співвідношень суму 2-ух останніх доданків у виразі для (р можна представити у вигляді
Останні три доданків в цій рівності можна викинути, так як напруги виражаються через другі похідні від функції (р. Тоді отримаємо кінцеве вираз для функції стресів
тотожно задовольняє бігармонічні рівняння (17.22), і відповідні формули для стресів

коефіцієнти з<, с2, зй знайдемо з граничних умов на контурі (див. § 16.2, приклад 16.1). На верхній і нижній ненавантажених гранях маємо
Перша вимога робиться тотожне, а з другого знайдемо На правому зрізі запишемо
де рух (у) — дотичне навантаження, рівнодіюча якої дорівнює прикладеній силі Р. З першої умови знайдемо
Інша умова

при певному заданому законі зміни рух (у), зрозуміло, не може робитися при довільних значеннях у.
Вимагатимемо виконання граничної умови в інтегральної формі:
Наприклад, що в змінюється в залежності від у по тому ж
закону, що і дотичні напруження т в поперечних перетинах.
тоді отримаємо
Звідси після інтегрування знайдемо

Підставивши ці значення постійних у формули (б), прийдемо до формул (а). Подібним чином, вирази (а) для стресів, отримані в опорі матеріалів, задовольняють всім рівнянням теорії пружності і статичним граничним умовам на 3 гранях балки. Якщо дотичні силир розподілені по торця по якомусь іншому закону, то відповідно до принципу Сен-Ве- нана значна відмінність в напружених буде тільки в області, близької до торця.
Для визначення переміщень скористаємося формулами закону Гука (17.17), в яких висловимо деформації через переміщення за формулами Коші (17.3), а замість стресів підставимо їх вираження (а):

Інтегруючи перше з даних рівнянь по лг, а друге — по у і підставляючи знайдені переміщення і і v в третє рівняння, отримаємо

де / 3 (у) і f4 (x) — довільні функції.
У рівності (г) вираз В перші квадратних дужках залежить виключно від х, у других — лише від у, права частина — незмінна величина. Так як хну — незалежні змінні, то рівноправність (г) може робитися лише за умови, що вирази в квадратних дужках є регулярними величинами:
Інтегруючи ці рівняння, знайдемо

Расчет балки на изгиб

З урахуванням таких формул вираження (в) для переміщень запишуться у вигляді
Як видно з формули (е), переміщення і нелінійно залежить від у і, тому, поперечні перерізи балки, в тому числі і в закладенні, не залишаються плоскими (рис. 17.10). Перетин jc = 0 в отриманому рішенні тільки з деяким наближенням можна вважати закладенням, оскільки при визначенні постійних с9, с10, сп, сп, що входять у вирази (е) і (ж), неможливо задовольнити граничним умовам і = 0, v = 0 для будь-яких значень у. З цієї причини обмежимося вимогою, щоб була нерухома точка Про, розташована на осі Ох, іншими словами

Підставляючи дані умови в формули (е) і (ж), отримаємо

Для визначення постійних с9 і с10 вимагатимемо, як це приймається в теорії вигину балок, щоб в закладенні поворотний кут дотичної до вигнутої осі (рис. 17.10, а) був равён нулю, іншими словами приймемо
З даної умови, застосовуючи формулу (ж), знайдемо с9 = 0. Якщо це врахувати з рівності (г) і (д) отримаємо

Определение опорных реакций в простой балке. Урок №1

Остаточні вирази для переміщень візьмуть вид

Вважаючи в іншому вираженні у = 0, отримаємо рівняння вигнутої осі балки і при х — 1 прогин кінця консолі:

Вирази (к) точно збігаються з виразами для прогинів консольної балки, отриманими в елементарній теорії вигину, заснованої на гіпотезі плоских перетинів.
Замість рівності нулю поворотного кута дотичній до вигнутої осі в закладенні Е v / dx = 0 можна "наполегливо попросити", щоб був равён нулю поворотний кут нормалі до вигнутої осі (рис. 17.10, б), іншими словами прийняти

З таких умов, застосовуючи формули (е), (г) і (д), знайдемо

Формули для переміщень мають вигляд
а для прогинів осі отримаємо такі вирази:

Прогин балки: формула для будинку або навантаження на несучу частину конструкції

Для будівництва міцного, довговічного та надійного будівлі, необхідно знати подібний показник, як прогин балки (формула), іншими словами величину жорсткості.
Ця течія вивчається в подібних науках (дисциплінах), як «Опір матеріалів», «Доктрина міцності», «Механіка будівельна» і інше.

Надійність і жорсткість балки

Прочность балки

Сьогоднішні будівельні технології, використовувані для прорахунку будконструкцій, іменованих також стрижневими, за якостями міцності і жорсткості дають прекрасну можливість на першому ж кроці проектування визначити величину прогину.
Плюс до всього, можна, спираючись на розраховані дані, скласти висновок про допустимість застосування будівельної конструкції.
Яке питання дає можливість вирішувати зазначена далі формула для розрахунку жорсткості? Дані, отримані таким шляхом, говорять про найбільші зміни в геометрії деталі, що можуть з’явитися в будівельній конструкції.
Не звертаючи уваги на певну бюрократизацію методик для обчислення прогину, застосовуються кваліфіковані формули, а якщо вплив справжніх навантажень різниться від хороших або усереднених, питання вирішується введенням додаткових коефіцієнтів для запасу міцності. Поняття «жорсткість» і «надійність» пов’язані і повністю нероздільні.
Хоча деякі відмінності все ж є. Але тільки в разі якщо розглядати ці показники в автомашинах. У будконструкцій основне порушення конструкції об’єктів відбувається завдяки тому, що зменшуються або нівелюються повністю питання, які пов’язані з характеристиками міцності запасом, завдяки чому будівлі не можна використовувати.

Балки з дерева з дерева хвойних порід
На даний час в таких предметах вивчення, як «Сопромат» і інші, прийняті 2 методу для розрахунку міцності і жорсткості:

  • Простий. При прораховування показників на основі такого способу застосовують збільшений показник.
  • Точний. Тут застосовуються не тільки коефіцієнти, що показують характеристиками міцності запас, але також виконується обчислення прикордонного стану (яке навантаження може витримувати балка).

Як розраховувати прогин для балки будинку

Щоб вирахувати, чи підходить конкретна балка для домобудівництва, необхідно знати подібні характеристики:

  • M — це той найбільший момент, який з’являється в балці, що знаходиться по епюру факторів. Епюр — це спеціалізований креслення з малюнком просторова фігура зображується на площині.
  • W n, mіn — момент опору перерізу (його значення знаходять по таблиці).
  • Ry — опір, що надає матеріал, з якого виконаний компонент будинкової конструкції, згинаючись від навантаження.
  • Уc — додатковий показник (його можна знайти в одній з багатьох таблиць будівельних норм).

Формула для розрахунку прогину з себе представляє нерівність наступного виду (формула № 1):
Щоб правильно застосувати формулу, необхідно діяти так:

  • Зобразити схематично балку і її майбутнє розташування під дахом будинку. Щоб правильно зобразити на кресленні всі частини досліджуваного об’єкта, необхідно знати форму і лінійні розміри балки, поперечного перерізу, характер майбутніх навантажень, матеріал, з якого балка зроблена.
  • Записати її вірні розміри.
  • Проссчітать за вказаною формулою, чому дорівнює приватне найбільшого моменту балки до твору інших трьох величин.
  • Порівняти результат який вийшов з одиницею: якщо він менше або равён 1, то обчислення дають позитивну відповідь.

Знаючи значення параметрів даної балки і сил, що діють на неї, зробивши прості підрахунки, можна швидко впорається із завданням обчислення допустимого прогину балки будинку.

Як визначити підсобні величини

Для отримання повної інформації про значення, потрібних для досягнення кінцевої мети обчислень, необхідно дізнатися, який момент опір перетину (формула № 2):
Слід в обов’язковому порядку уітивать орієнтування розглянутого балочного перетину, так як зі зменшенням факторів інерції жорсткість балок зменшується, чого допускати не можна. Для з’ясування граничного показника навантаження f, яке може витримувати балка, потрібно визначити його за такою формулою № 3:
f = (5/384) * [(qn * L 4) / (E * J)]? [|], Де

  • L — поздовжній розмір, в метрах
  • E — показник, що показує пружність (для будь-якого матеріалу або сплаву він буде абсолютно різним)
  • J — момент інерції по перетину
  • qn — це навантаження, рівномірно-поширена, виражається в кг / м або в Н / м

Показник J розраховується так:

  • b — діаметр перетинів
  • h — вертикальний розмір перетину

Прикладом для перетинів, величиною 15 на 20 сантиметрів:
J = 0,15 * (0,2) 3/12 = 10 000 см 4 або 0,0001 м 4
Крім перерахованих розрахункових або табличних величин, серед ключових факторів, які слід врахувати при підрахунку найбільших навантажень, виділяють такі: статичні (які працюють регулярно, незалежно від змінних зовнішніх факторів), періодичні (дія вітру, вібрації, ударів).

Приклад підрахунку прогину

Прогин балки (формула, приклад розрахунку) обчислюється так. Припустимо, є балка, для якої слід розрахувати прогин, з наступними критеріями:

  • Матеріал виготовлення — дерево.
  • Щільність 600 кг / м 3 .
  • Довжина балки L — 4 м, інші розміри: 15 см х 20 см.
  • Маса перекривають елементів — 60 кг / м2.
  • Найбільше навантаження q дорівнює 249 кг / м.
  • E (наскільки пружно дерево) — 100 000 кгс / м2.
  • J балок — 10 кг * м2.

Максимально допустима навантаження обчислюється з урахуванням ваги не тільки балочної конструкції, але і перекриття, а ще опор.

Розрахунок на поперечний прогин
Буде не зайвим передбачити тяжкість, яку надаватимуть люди або прилади, механізми і інші важкі речі, якщо обчислюється прогин балок поверху будинку. Необхідні такі дані, як:

  • Скільки важить один пог. метр розглянутої балки.
  • Скільки важить кожен м 2 перекриття.
  • Яка тимчасова навантаження на перекриття.
  • Скільки становить навантаження від перегородок на 1 м 2 перекриття.
  • Який коеф. k (це проміжок, що залишається між балками).

Щоб полегшити приклад розрахунків, приймають мас перекриття за 60 кг / м ?, нормальну непостійну навантаження на кожне перекриття — 250 кг / м ?, навантаження від перегородок рівними 75 кг / м ?, тяжкість частини балок з дерева — 18 кг / метр погонний. Коли відстань між перекриттями одно становить 600 мм, тоді показник k равён 0,6. Підставляємо в формулу ці всі значення:
q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 кг / м.
Згинальний момент необхідно визначити за формулою №3, взявши до уваги всі вищевказані дані. виходить:
f = (5/384) * [(qn * L 4) / (E * J)] = (5/384) * [(249 * 4 4) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [ (249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744/10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.
Це — показник рівня прогину під час впливу найбільшої навантаження. Що конкретно він означає? Виходить, що менше, ніж на один сантиметр прогнеться балка при зазначеної найбільшому навантаженню. Після цього необхідно порівняти результат який вийшов з одиницею: 0,83 менше 1.
При розрахунках деформації важливих будівлі яке будується застосовують вищевказані звичайні формули. Прогин балки за формулою СНиП вважається багатофункціональним способом обчислення жорсткості балок і величини їх прогинання.

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в балке.

Як порахувати балку на вигин — на відео:

Знайшли помилку? Виділіте її та натисніть Ctrl + Enter, щоб повідомити нам.

Рекомендованные статьи

Добавить комментарий